Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais conhecido como PVIS (Problema de Valor Inicial). A equação dada é:
com a condição inicial . Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a substituição homogênea, já que a equação é homogênea.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a equação é homogênea, o que significa que o numerador e o denominador são funções homogêneas do mesmo grau. Para resolver, fazemos a substituição , ou seja, .

Passo 3

Derivamos em relação a :
Substituímos isso na equação original:

Passo 4

Rearranjamos a equação para isolar :
Simplificando o lado direito:
Portanto:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Para a integral da esquerda, fazemos uma divisão no numerador:
Integrando:
Isso resulta em:

Passo 7

Substituindo de volta:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial com a condição inicial é:

Resposta

A solução do PVIS é dada pela equação acima, válida para . O gráfico pode ser feito no GeoGebra utilizando esta expressão para .

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