Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais conhecido como PVIS (Problema de Valor Inicial). A equação dada é:
com a condição inicial
. Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a substituição homogênea, já que a equação é homogênea.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a equação é homogênea, o que significa que o numerador e o denominador são funções homogêneas do mesmo grau. Para resolver, fazemos a substituição
, ou seja,
.
Passo 3
Derivamos
em relação a
:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Rearranjamos a equação para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Passo 5
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Para a integral da esquerda, fazemos uma divisão no numerador:
Integrando:
Isso resulta em:
Passo 7
Substituindo
de volta:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial com a condição inicial é:
Resposta
A solução do PVIS é dada pela equação acima, válida para
. O gráfico pode ser feito no GeoGebra utilizando esta expressão para
.
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