Encontre a solução geral da EDO

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes, especificamente:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

A próxima etapa é formar a equação característica da EDO dada. Para uma EDO da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Substituindo os valores:

Passo 4

Observamos que a equação característica possui duas raízes iguais: . Quando isso acontece, a solução geral da EDO tem uma forma especial para evitar soluções redundantes.

Passo 5

Para raízes reais e iguais , a solução geral da EDO é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre quando:
e .
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
.
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