Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes, especificamente:
Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
A próxima etapa é formar a equação característica da EDO dada. Para uma EDO da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Substituindo os valores:
Passo 4
Observamos que a equação característica possui duas raízes iguais:
. Quando isso acontece, a solução geral da EDO tem uma forma especial para evitar soluções redundantes.
Passo 5
Para raízes reais e iguais
, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Exercícios relacionados
Encontre
quando:
e
.
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
.
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