Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais. Para resolver essa equação, a gente vai precisar entender como encontrar a solução geral de uma EDO homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral
. No nosso caso,
e
, então a equação simplifica para
.
Passo 3
Para resolver, vamos achar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
por
na EDO, o que leva a uma equação polinomial. Então, substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica
. Subtraindo 9 de ambos os lados:
Passo 5
Como as raízes são complexas
, onde
e
, a solução geral da EDO é dada por:
Substituindo
e
:
Como
, simplifica para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.