Encontre a solução geral da EDO dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, todas as funções
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica associada a essa EDO. A equação característica é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante. Isso nos dá:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.