Resolva o PVI

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) onde temos a equação diferencial com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, obtemos:
Isso simplifica para a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiramente, usamos :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de :
Aplicamos a condição :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do PVI é:

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Encontre a solução geral da EDO dada:
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