Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
c) 0;

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem: . A gente precisa encontrar a solução geral dessa EDO e depois descobrir qual é o limite de quando vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica pra resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a EDO no formato padrão: mu(t) = e^integral P(t) dt , onde mu(t) = e^integral 2 dt = e^2t e . O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ) que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
Substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t cdot e^-2t = 1 :
ddt(e^2t y) = 1
Perceba que o lado esquerdo da equação se tornou a derivada do produto . Ou seja:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddt(e^2t y) dt = integral 1 dt :
e^2t y = t + C
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos isolar y = e^-2t (t + C) para encontrar a solução geral da EDO:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite de limt to +infty y(t) = limt to +infty e^-2t (t + C) quando limt to +infty y(t) = 0 vai para mais infinito:
Note que decai para zero muito mais rápido do que cresce para infinito. Portanto, o limite é:

Resposta

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