Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
c) 0;
c) 0;
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
. A gente precisa encontrar a solução geral dessa EDO e depois descobrir qual é o limite de
quando
vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica pra resolver EDOs lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a EDO no formato padrão:
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante (
) que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
Substituindo
na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação se tornou a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos isolar
para encontrar a solução geral da EDO:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite de
quando
vai para mais infinito:
Note que
decai para zero muito mais rápido do que
cresce para infinito. Portanto, o limite é:
Resposta
0
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Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
b) ;
b)
Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
e) 1 .
e) 1 .
Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
d) ;
d)
Encontre a solução geral da EDO:
.