Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar formar a equação característica e achar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. A fórmula de Bhaskara para resolver
é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para simplificar, vamos ver a discriminante
. Dependendo do valor de
, temos diferentes tipos de soluções:
- Se
: duas raízes reais e distintas. - Se
: duas raízes reais iguais. - Se
: raízes complexas conjugadas.
Vamos considerar os três casos.
Passo 5
Caso 1:
(100 - 100h > 0 \Rightarrow h < 1)
As raízes são reais e distintas:
A solução geral é:
Caso 2:
(100 - 100h = 0 \Rightarrow h = 1)
As raízes são reais e iguais:
A solução geral é:
Caso 3:
(100 - 100h < 0 \Rightarrow h > 1)
As raízes são complexas:
A solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Onde
e
são constantes arbitrárias.