Encontre a solução geral da EDO h * y'' - 10 * y' + 25 * y = 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar formar a equação característica e achar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . A fórmula de Bhaskara para resolver é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Para simplificar, vamos ver a discriminante . Dependendo do valor de , temos diferentes tipos de soluções:
  • Se : duas raízes reais e distintas.
  • Se : duas raízes reais iguais.
  • Se : raízes complexas conjugadas.
Vamos considerar os três casos.

Passo 5

Caso 1: (100 - 100h > 0 \Rightarrow h < 1)
As raízes são reais e distintas:
A solução geral é:
Caso 2: (100 - 100h = 0 \Rightarrow h = 1)
As raízes são reais e iguais:
A solução geral é:
Caso 3: (100 - 100h < 0 \Rightarrow h > 1)
As raízes são complexas:
A solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Onde e são constantes arbitrárias.

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