Encontre as soluções de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar as soluções da equação diferencial
Essa é uma equação que envolve derivadas de em relação a , e funções de e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Agora, vamos juntar os termos do lado direito:
Isso nos dá uma forma mais simples para trabalhar.

Passo 3

Vamos reconhecer que essa equação pode ser separada, ou seja, podemos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que é o mesmo que , podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver as integrais do lado direito:
  1. A integral de não tem uma expressão em termos de funções elementares; ela é conhecida como a Integral Cosseno ( ).
  2. A integral de é straightforward:
Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para isolando-o:
Para simplificar, podemos chamar de outra constante, digamos :
Finalmente, extraímos a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é a Integral Cosseno e é a constante de integração.

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