Encontre as soluções de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar as soluções da equação diferencial
Essa é uma equação que envolve derivadas de
em relação a
, e funções de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais, como separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Agora, vamos juntar os termos do lado direito:
Isso nos dá uma forma mais simples para trabalhar.
Passo 3
Vamos reconhecer que essa equação pode ser separada, ou seja, podemos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
é o mesmo que
, podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver as integrais do lado direito:
-
A integral de
não tem uma expressão em termos de funções elementares; ela é conhecida como a Integral Cosseno ( ). -
A integral de
é straightforward:
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
isolando-o:
Para simplificar, podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Finalmente, extraímos a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é a Integral Cosseno e
é a constante de integração.
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sen
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