Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
sen
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma equação diferencial do segundo grau: . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito é uma função que a gente consegue adivinhar uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial homogênea de segundo grau com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa: . Como o lado direito é , que é um produto de um polinômio de grau 1 e uma função trigonométrica, nossa solução particular vai ter a forma:
onde
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para
:
Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos incluir um termo adicional multiplicando por
devido à presença de na solução homogênea.
Passo 7
Ajustando a forma da solução particular:
Derivando e substituindo novamente, resolvemos para encontrar
.
Após os cálculos, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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sen
Encontre as soluções de
.
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