Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
sen

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma equação diferencial do segundo grau: . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito é uma função que a gente consegue adivinhar uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial homogênea de segundo grau com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa: . Como o lado direito é , que é um produto de um polinômio de grau 1 e uma função trigonométrica, nossa solução particular vai ter a forma:
onde são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para :
á
Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos incluir um termo adicional multiplicando por devido à presença de na solução homogênea.

Passo 7

Ajustando a forma da solução particular:
Derivando e substituindo novamente, resolvemos para encontrar .
Após os cálculos, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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sen
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