Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
sen

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o termo não homogêneo é uma função que já conhecemos, como senos, cossenos ou exponenciais. Vamos precisar identificar a solução geral da equação homogênea e, depois, encontrar uma solução particular que se ajuste ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes características da equação característica . Resolvendo:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por para evitar a duplicidade. Assim, assumimos:

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Os termos com se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Passo 7

Com os valores de e , a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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