Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
sen
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o termo não homogêneo é uma função que já conhecemos, como senos, cossenos ou exponenciais. Vamos precisar identificar a solução geral da equação homogênea e, depois, encontrar uma solução particular que se ajuste ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes características da equação característica
. Resolvendo:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por
para evitar a duplicidade. Assim, assumimos:
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Os termos com
se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Passo 7
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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