Encontre uma solução geral para a EDO.
.
Resp.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO), que basicamente relaciona uma função
e sua derivada
. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, especificamente métodos que lidam com equações não-lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que a expressão dentro do quadrado é
. Podemos tentar rearranjar isso para facilitar a resolução. Vamos isolar
:
Mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar uma substituição que torne a equação mais gerenciável.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples em termos de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la como:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Simplificando a fração:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever a integral como:
A integral de
é
, então aqui
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Onde
é uma nova constante. Aplicando a tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta:
Agora, vamos isolar
:
Dividindo tudo por 2:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Seja
. Sendo a derivada uma taxa de variação, geometricamente qual o valor que você espera para
? Calcule
usando a definição.
Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:
, em
,
Determine o domínio das seguintes funções:
k)
k)