Encontre uma solução geral para a EDO. .
Resp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO), que basicamente relaciona uma função e sua derivada . A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs, especificamente métodos que lidam com equações não-lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que a expressão dentro do quadrado é . Podemos tentar rearranjar isso para facilitar a resolução. Vamos isolar :
Mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar uma substituição que torne a equação mais gerenciável.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Agora, vamos derivar em relação a :
Mas sabemos que , então substituindo:
Agora, temos uma equação diferencial mais simples em termos de .

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la como:
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
Simplificando a fração:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever a integral como:
A integral de é , então aqui :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Onde é uma nova constante. Aplicando a tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta:
Agora, vamos isolar :
Dividindo tudo por 2:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Seja . Sendo a derivada uma taxa de variação, geometricamente qual o valor que você espera para ? Calcule usando a definição.

ponto
Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados: , em ,
Determine o domínio das seguintes funções:
k)