Seja
. Sendo a derivada uma taxa de variação, geometricamente qual o valor que você espera para
? Calcule
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função
e pede para a gente achar a derivada dessa função no ponto
. A derivada representa a taxa de variação de uma função, ou seja, como a função está mudando naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar ela nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Esse limite nos mostra a inclinação da reta tangente à curva da função em
, ou seja, como a função está se comportando naquele exato ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na nossa função
. Primeiro, substituímos na fórmula:
Como
, temos:
Substituindo esses valores na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, percebemos que
no numerador e no denominador se cancelam:
Resposta
O valor da derivada
é 2.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Dê exemplos de conjuntos
tais que:
a) e
são distintos
a)
Encontre uma solução geral para a EDO.
.
Resp.
Resp.
Calcule, usando a definição, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:
, em
,