Encontre a solução geral da EDO definida em . Dica: faça a substituição

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Essa EDO está definida no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem. A dica que recebemos é para fazer a substituição . Vamos precisar lembrar como fazer mudanças de variável em EDOs e resolver equações lineares com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso vai nos ajudar a simplificar a equação. Quando fazemos essa substituição, precisamos expressar as derivadas de em relação a em termos de .
Sabemos que:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar e em termos de .

Passo 3

Calculando :
E :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Substituindo :
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então, a equação fica:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Vamos resolver essa equação usando o método da solução geral, que consiste em encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma , substituindo na equação:
Dividindo por :
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução homogênea é:

Passo 7

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Então, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 9

Lembrando que fizemos a substituição , voltamos à variável original :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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