Encontre a solução geral da EDO
definida em
. Dica: faça a substituição
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Essa EDO está definida no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem. A dica que recebemos é para fazer a substituição
. Vamos precisar lembrar como fazer mudanças de variável em EDOs e resolver equações lineares com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso vai nos ajudar a simplificar a equação. Quando fazemos essa substituição, precisamos expressar as derivadas de
em relação a
em termos de
.
Sabemos que:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
e
em termos de
.
Passo 3
Calculando
:
E
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Substituindo
:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, a equação fica:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Vamos resolver essa equação usando o método da solução geral, que consiste em encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma
, substituindo na equação:
Dividindo por
:
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução homogênea é:
Passo 7
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Lembrando que fizemos a substituição
, voltamos à variável original
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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