Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . A matéria que estamos lidando aqui é sobre EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são e .
Isso significa que a solução complementar (solução da equação homogênea) é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da EDO definida em . Dica: faça a substituição
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(q)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(i)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)