Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. A matéria que estamos lidando aqui é sobre EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Isso significa que a solução complementar (solução da equação homogênea) é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da EDO
definida em
. Dica: faça a substituição
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(q)
(q)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(i)
(i)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)
(m)