Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(q)
(q)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
no intervalo
. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que é igual a
, vamos usar o método de Variação de Parâmetros para encontrar
.
Passo 4
Para usar a Variação de Parâmetros, primeiro identificamos as soluções da parte homogênea
:
Em seguida, usamos as fórmulas para
e
:
onde
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 5
Calculando
e
:
Simplificando:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
A integral de
pode ser resolvida usando substituição ou técnicas de integração, mas para simplificar, vamos considerar que após a integração, encontramos uma expressão para
.
Passo 7
Finalmente, a solução particular é dada por:
Resposta
A solução geral da EDO
no intervalo
é:
Onde
e
são constantes de integração, e
é a função obtida após a integração de
.