Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(j)
(j)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver essa equação, usamos a equação característica.
A equação característica para uma EDO homogênea com coeficientes constantes é encontrada substituindo
na EDO.
Então, substituindo
temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) fica:
Essa é a equação característica.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Como as raízes são complexas, da forma
, onde
e
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.
Como o membro de direita é
, assumimos uma solução particular da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na EDO original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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(q)
(q)
Encontre a solução geral da EDO
definida em
. Dica: faça a substituição