Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(j)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar resolver a parte homogênea da equação e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para resolver essa equação, usamos a equação característica.
A equação característica para uma EDO homogênea com coeficientes constantes é encontrada substituindo na EDO.
Então, substituindo temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero) fica:
Essa é a equação característica.

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como as raízes são complexas, da forma , onde e , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.
Como o membro de direita é , assumimos uma solução particular da forma:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na EDO original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Passo 6

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral da EDO definida em . Dica: faça a substituição