Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, formulamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito
, notamos que ele é semelhante às soluções da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por
para obter uma solução particular adequada:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 8
Com
e
, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(f)
(f)
Encontre a solução geral da EDO
definida em
. Dica: faça a substituição
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)
(m)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§
§