Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, formulamos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito , notamos que ele é semelhante às soluções da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar por para obter uma solução particular adequada:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 6

Substituindo , e na equação original :
Simplificando os termos:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :

Passo 8

Com e , a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(f)
Encontre a solução geral da EDO definida em . Dica: faça a substituição
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
(m)
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
§