Encontre solução geral para as EDO.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos na nossa equação. Ela está na forma:
Comparando com a nossa equação:
O próximo passo é calcular o fator integrante.
Passo 3
O fator integrante (μ(x)) é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando os termos:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Ou seja:
Isso simplifica muito a resolução!
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre solução geral para as EDO.
;
Verifique que se
é solução de
e
é solução de
, então
também é solução de
, para qualquer
.
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
.
Seja
, definido no aberto
. Suponhamos que
e
admitam derivadas parciais segundas contínuas em
. Prove que
.