Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo . A matéria envolvida aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que a gente usa para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções exponenciais, senos, cossenos ou combinações deles. Para resolver, vamos precisar achar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma e substituímos na equação, resultando na equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para garantir que a solução particular seja independente da homogênea. Vamos supor:
onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação original e simplificando, igualamos os coeficientes de e dos dois lados da equação para resolver para e .
Após simplificação, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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