Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo
. A matéria envolvida aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que a gente usa para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções exponenciais, senos, cossenos ou combinações deles. Para resolver, vamos precisar achar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
e substituímos na equação, resultando na equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por
para garantir que a solução particular seja independente da homogênea. Vamos supor:
onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação original
e simplificando, igualamos os coeficientes de
e
dos dois lados da equação para resolver para
e
.
Após simplificação, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da EDO
Encontre a solução geral da EDO
Encontre a solução geral da EDO
Encontre a solução geral da EDO