Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
y^(4) + 2 y^(2) + y = 3 + cos(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de quarta ordem:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, que é basicamente a combinação das soluções da parte homogênea (quando igualamos a equação a zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para resolver isso, a gente monta a equação característica substituindo por :

Passo 3

Vamos resolver essa equação característica. Observa que é um polinômio quadrático em termos de . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara ou fatoração.

Passo 4

Fatorando a equação:
Lembrando que , então:
í
Como cada tem multiplicidade 2, teremos raízes repetidas: e , cada uma com multiplicidade 2.

Passo 5

Com as raízes complexas e repetidas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte dos termos não homogêneos é , então vamos supor uma solução particular da forma:
Onde são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias de :

Passo 8

Substituindo e suas derivadas na equação original:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Resolvendo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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