Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de quarta ordem:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, que é basicamente a combinação das soluções da parte homogênea (quando igualamos a equação a zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para resolver isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver essa equação característica. Observa que é um polinômio quadrático em termos de
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara ou fatoração.
Passo 4
Fatorando a equação:
Lembrando que
, então:
Como cada
tem multiplicidade 2, teremos raízes repetidas:
e
, cada uma com multiplicidade 2.
Passo 5
Com as raízes complexas e repetidas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte dos termos não homogêneos é
, então vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Resolvendo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.