Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
y^(3) - y^(2) - y^(1) + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
Pra resolver isso, vamos precisar usar a técnica das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções com base nas raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. Pra fazer isso, substituímos cada derivada de por uma potência de , ficando assim:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica pra encontrar os valores de . Vamos tentar fatorar:
Então, temos:
Isso nos dá as raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é construída com termos . Como é uma raiz dupla, incluímos um termo adicional com :
Onde são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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