Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
Pra resolver isso, vamos precisar usar a técnica das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções com base nas raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à EDO. Pra fazer isso, substituímos cada derivada de
por uma potência de
, ficando assim:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica pra encontrar os valores de
. Vamos tentar fatorar:
Então, temos:
Isso nos dá as raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da EDO é construída com termos
. Como
é uma raiz dupla, incluímos um termo adicional com
:
Onde
são constantes que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO é: