Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
. Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com termos não homogêneos no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) com uma solução particular da equação completa (
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
onde
e
são constantes que a gente ajusta com base nas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito, temos termos envolvendo
e
, que sugerem que nossa solução particular terá a forma de uma combinação dessas funções.
Passo 4
Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos determinar. A presença do
multiplica
e
porque há um termo polinomial multiplicando as funções trigonométricas no lado direito da equação.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos de ambos os lados da equação:
Passo 8
Resolvendo as equações:
Da equação (3):
Da equação (3):
Da equação (4):
Da equação (2):
Da equação (1):
Passo 9
Agora que temos os valores dos coeficientes:
Substituindo de volta na expressão da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.