Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
y'' + y = 3 sen(2t) + t cos(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com termos não homogêneos no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) com uma solução particular da equação completa ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada: . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
onde e são constantes que a gente ajusta com base nas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observando o lado direito, temos termos envolvendo e , que sugerem que nossa solução particular terá a forma de uma combinação dessas funções.

Passo 4

Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar. A presença do multiplica e porque há um termo polinomial multiplicando as funções trigonométricas no lado direito da equação.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 6

Substituímos e na equação original :
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos de ambos os lados da equação:

Passo 8

Resolvendo as equações:
Da equação (3):
Da equação (4):
Da equação (2):
Da equação (1):

Passo 9

Agora que temos os valores dos coeficientes:
Substituindo de volta na expressão da solução particular:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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