Encontre a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
Aqui, a gente vai usar conceitos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma EDO de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução proposta para esse tipo de equação é , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando termos:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Substituindo :

Passo 9

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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