Encontre a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
Aqui, a gente vai usar conceitos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa EDO, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma EDO de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução proposta para esse tipo de equação é
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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