Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me mandou: . Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso usando o método da variação dos parâmetros, a gente precisa primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Isso significa que estamos procurando uma solução onde o lado direito é zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos por , o que nos leva a:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Os valores de são complexos: e .

Passo 5

Como temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e , temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que os coeficientes e são funções de .

Passo 7

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano :
Após simplificar, encontramos .

Passo 8

Aplicamos as fórmulas de variação dos parâmetros para e :
Onde . Integramos e para encontrar e , e então obtemos .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.

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