Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me mandou:
. Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso usando o método da variação dos parâmetros, a gente precisa primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Isso significa que estamos procurando uma solução onde o lado direito é zero.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos achar a equação característica. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Os valores de
são complexos:
e
.
Passo 5
Como temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que os coeficientes
e
são funções de
.
Passo 7
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano
:
Após simplificar, encontramos
.
Passo 8
Aplicamos as fórmulas de variação dos parâmetros para
e
:
Onde
. Integramos
e
para encontrar
e
, e então obtemos
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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