Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver a equação diferencial de segunda ordem . Isso significa que vamos achar uma solução geral para essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares. Vamos precisar entender como resolver tanto a parte homogênea quanto encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolveremos isso encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica para é . Resolvendo para , temos:
Isso significa que as raízes são imaginárias, o que nos leva a uma solução homogênea envolvendo funções trigonométricas.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é então:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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