Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Isso significa que vamos achar uma solução geral para essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares. Vamos precisar entender como resolver tanto a parte homogênea quanto encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolveremos isso encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é
. Resolvendo para
, temos:
Isso significa que as raízes são imaginárias, o que nos leva a uma solução homogênea envolvendo funções trigonométricas.
Passo 4
A solução geral da equação homogênea é então:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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