Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir. y'' - 2y' + y = x + 2x e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos y por na equação homogênea:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla . Quando a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir o lado direito em duas partes: x e . Encontraremos uma solução particular para cada parte e depois somaremos.
Para x:
Assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para x é:
Para :
Como e^x já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar duplicidade. Assumimos:
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituímos , e na equação diferencial e resolvemos para C e D. Após simplificar, encontramos:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Somando as soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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