Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente as de segunda ordem e lineares. Vamos precisar usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação. Esse método é útil quando a equação não tem uma solução particular fácil de achar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO homogênea linear com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser escrita como:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) da equação original:
Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar quando sabemos a solução da equação homogênea.

Passo 4

O método da variação dos parâmetros diz que a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são as soluções da equação homogênea, que já encontramos:
Agora, precisamos achar e .

Passo 5

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o termo do lado direito da EDO original ( ) e é o determinante de Wronskian das soluções e :

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Agora, precisamos integrar e para encontrar e .

Passo 7

Vamos integrar :
Essa integral pode ser resolvida por integração por partes várias vezes. Após resolver, obtemos:
Mas como estamos procurando por uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração.

Passo 8

De modo similar, integramos :
Também usando integração por partes, obtemos:
Novamente, ignoramos a constante de integração para a solução particular.

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão de :
Após simplificar os termos, teremos uma expressão para a solução particular .

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
ã

Resposta

A solução geral da equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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