Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear:
A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente as de segunda ordem e lineares. Vamos precisar usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação. Esse método é útil quando a equação não tem uma solução particular fácil de achar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
Essa é uma EDO homogênea linear com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser escrita como:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação original:
Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar
quando sabemos a solução da equação homogênea.
Passo 4
O método da variação dos parâmetros diz que a solução particular pode ser escrita como:
Onde
e
são as soluções da equação homogênea, que já encontramos:
Agora, precisamos achar
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é o termo do lado direito da EDO original (
) e
é o determinante de Wronskian das soluções
e
:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Agora, precisamos integrar
e
para encontrar
e
.
Passo 7
Vamos integrar
:
Essa integral pode ser resolvida por integração por partes várias vezes. Após resolver, obtemos:
Mas como estamos procurando por uma solução particular, podemos ignorar a constante de integração.
Passo 8
De modo similar, integramos
:
Também usando integração por partes, obtemos:
Novamente, ignoramos a constante de integração para a solução particular.
Passo 9
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Após simplificar os termos, teremos uma expressão para a solução particular
.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
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