Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e, depois, uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito da equação, percebemos que
pode ser simplificada como
, que é uma função logística.
Para encontrar
, vamos usar o método de variação de parâmetros, que é adequado para equações diferenciais lineares não homogêneas.
Passo 4
Segundo o método de variação de parâmetros, a solução particular pode ser escrita como:
onde
e
são funções que vamos determinar. Para encontrar essas funções, usamos as seguintes relações:
Essas equações podem ser resolvidas para
e
.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
Integrando
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
De forma análoga, podemos encontrar
.
Passo 6
Após encontrar
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.
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Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)