Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem . Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral da equação. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e, depois, uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito da equação, percebemos que pode ser simplificada como , que é uma função logística.
Para encontrar , vamos usar o método de variação de parâmetros, que é adequado para equações diferenciais lineares não homogêneas.

Passo 4

Segundo o método de variação de parâmetros, a solução particular pode ser escrita como:
onde e são funções que vamos determinar. Para encontrar essas funções, usamos as seguintes relações:
Essas equações podem ser resolvidas para e .

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Substituindo na segunda equação:
Integrando :
Fazendo a substituição , , temos:
De forma análoga, podemos encontrar .

Passo 6

Após encontrar e , substituímos de volta na expressão de :
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias, e é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.

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Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)