Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Basicamente, vamos achar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função
que satisfaça a equação para qualquer valor de
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes indeterminados, que ajuda a encontrar soluções para equações onde o lado direito é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é a parte "sem
" da equação original. Para resolver isso, assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos
, então
. Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil quando o lado direito da equação é um polinômio, exponencial ou função trigonométrica.
Como o lado direito é um polinômio de grau 3 (
), vamos supor uma solução particular também na forma de um polinômio de grau 3:
onde
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para o termo constante:
Passo 6
Com os coeficientes determinados, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
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