Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem utilizando o método dos coeficientes indeterminados. Basicamente, vamos achar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função que satisfaça a equação para qualquer valor de . Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes indeterminados, que ajuda a encontrar soluções para equações onde o lado direito é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é a parte "sem " da equação original. Para resolver isso, assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos , então . Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil quando o lado direito da equação é um polinômio, exponencial ou função trigonométrica.
Como o lado direito é um polinômio de grau 3 ( ), vamos supor uma solução particular também na forma de um polinômio de grau 3:
onde são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 6

Com os coeficientes determinados, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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