Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias na matemática. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, formamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos achar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio desse grau:
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo
:
Para o termo constante:
Passo 7
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
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