Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias na matemática. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, formamos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos achar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio desse grau:

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos e suas derivadas na equação original:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo :
Para o termo constante:

Passo 7

Com os valores de e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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