Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é de segunda ordem e linear:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, montamos a equação característica substituindo por e por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e . Com isso, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa:
Observando o lado direito, vemos que temos . Isso sugere que nossa solução particular terá a forma:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
O que resulta em:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos e :
Para :
Para :

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 8

Com e , nossa solução particular fica:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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