Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é de segunda ordem e linear:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, montamos a equação característica substituindo
por
e
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Com isso, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa:
Observando o lado direito, vemos que temos
. Isso sugere que nossa solução particular terá a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
O que resulta em:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
-
-
⇒
Substituindo
na primeira equação:
Então,
Passo 8
Com
e
, nossa solução particular fica:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)