Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é a parte onde ignoramos o termo
do lado direito.
Passo 3
A equação homogênea
tem a forma característica
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com esses valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução específica quando a equação não é homogênea.
Passo 6
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea
. Vamos chamar
e
.
Passo 7
No método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz as contas e facilita encontrar
e
.
Passo 9
Substituindo essas expressões na equação original
, obtemos:
Agora, temos um sistema de equações para
e
:
Passo 10
Resolvendo esse sistema, somamos as duas equa��ões:
E subtraindo as equações:
Passo 11
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes.
Passo 12
Resolvendo as integrais por partes, encontramos:
Desconsideramos as constantes de integração
e
pois elas já estão incluídas na solução homogênea.
Passo 13
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.