Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é a parte onde ignoramos o termo do lado direito.

Passo 3

A equação homogênea tem a forma característica . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com esses valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução específica quando a equação não é homogênea.

Passo 6

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea . Vamos chamar e .

Passo 7

No método da variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 8

Calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz as contas e facilita encontrar e .

Passo 9

Substituindo essas expressões na equação original , obtemos:
Agora, temos um sistema de equações para e :

Passo 10

Resolvendo esse sistema, somamos as duas equa��ões:
E subtraindo as equações:

Passo 11

Agora, integramos e para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes.

Passo 12

Resolvendo as integrais por partes, encontramos:
Desconsideramos as constantes de integração e pois elas já estão incluídas na solução homogênea.

Passo 13

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.