Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem:
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para resolver EDOs onde o lado direito é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Precisamos encontrar duas soluções: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular do tipo:
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição.
Como
não contém termos de
, nossa tentativa inicial está ok. Porém, parece que houve um erro na comparação. Vamos refazer:
Agora, organizando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Isso indica que precisamos incluir um termo
na nossa suposição. Vamos ajustar
:
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação original:
Agora, igualando os coeficientes:
Para
:
Ajustando novamente nossa suposição:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Agora, igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
Juntando a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da EDO é:
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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