Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem: . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para resolver EDOs onde o lado direito é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Precisamos encontrar duas soluções: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular do tipo:
Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição.
Como não contém termos de , nossa tentativa inicial está ok. Porém, parece que houve um erro na comparação. Vamos refazer:
Agora, organizando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Isso indica que precisamos incluir um termo na nossa suposição. Vamos ajustar :
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação original:
Agora, igualando os coeficientes:
Para :
Ajustando novamente nossa suposição:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Agora, igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

Juntando a solução homogênea e a solução particular, a solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método dos coeficientes indeterminados)
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.