Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem e encontrar a solução geral. A equação é
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada, que é
. Isso significa que vamos resolver a equação sem o termo do lado direito, ou seja,
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, vamos supor que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Multiplicamos por
porque
já é solução da homogênea.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação completa:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é
.
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
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