Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem e encontrar a solução geral. A equação é . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada, que é . Isso significa que vamos resolver a equação sem o termo do lado direito, ou seja, .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , vamos supor que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções da equação homogênea são e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Multiplicamos por porque já é solução da homogênea.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação completa:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é .

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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