Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é a soma de
e
, vamos assumir que:
onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
– isso indica que nossa suposição para
deve ser ajustada.
Como
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Portanto, assumimos:
Passo 9
Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 10
Simplificando:
Isso nos dá:
Passo 11
Resolvendo para
e
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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