Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :
Então, os valores de são:

Passo 4

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é a soma de e , vamos assumir que:
onde e são constantes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: – isso indica que nossa suposição para deve ser ajustada.
Como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Portanto, assumimos:

Passo 9

Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação original:

Passo 10

Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 11

Resolvendo para e :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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