Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar a solução geral, vamos precisar resolver tanto a equação homogênea associada quanto encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é
. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
):
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Assim, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método dos coeficientes indeterminados)
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