Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar a solução geral, vamos precisar resolver tanto a equação homogênea associada quanto encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é . Assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Podemos dividir ambos os lados por (já que ):

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Assim, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde e são constantes arbitrárias.

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