(Reginaldo)
(a) Resolva o problema de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem para resolver isso. Precisaremos identificar o tipo de equação e aplicar o método adequado para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples. Vamos isolar :
Agora, temos uma equação na forma , onde . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição , então ou . Assim, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma derivada total igual a zero, o que significa que a expressão dentro da derivada é constante.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , isolamos:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :

Passo 7

Substituindo na solução geral, temos:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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