(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de
para fora onde a temperatura é de
. Após
minuto o termômetro marca
.
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar
?
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre como a temperatura de um termômetro muda quando ele é levado de um ambiente para outro com temperaturas diferentes. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Temperatura inicial do termômetro (
): - Temperatura do ambiente externo (
): - Após
minuto, a temperatura do termômetro ( ): - Queremos descobrir o tempo (
) para que o termômetro chegue a
Passo 3
A Lei do Resfriamento de Newton é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a temperatura do termômetro no tempo -
é a temperatura do ambiente -
é a temperatura inicial do termômetro -
é a constante de resfriamento que precisamos encontrar -
é a base dos logaritmos naturais
Passo 4
Vamos usar a informação de que após
minuto, a temperatura é
para encontrar a constante
.
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos
, vamos usar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton para encontrar o tempo
quando a temperatura for
.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Calculando:
Resposta
O termômetro irá marcar
após aproximadamente 1,35 minutos.
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