(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20 graus Celsius para fora onde a temperatura é de 5 graus C. Após 1/2 minuto o termômetro marca 15 graus C.
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10 graus C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre como a temperatura de um termômetro muda quando ele é levado de um ambiente para outro com temperaturas diferentes. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Temperatura inicial do termômetro ( ):
  • Temperatura do ambiente externo ( ):
  • Após minuto, a temperatura do termômetro ( ):
  • Queremos descobrir o tempo ( ) para que o termômetro chegue a

Passo 3

A Lei do Resfriamento de Newton é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a temperatura do termômetro no tempo
  • é a temperatura do ambiente
  • é a temperatura inicial do termômetro
  • é a constante de resfriamento que precisamos encontrar
  • é a base dos logaritmos naturais

Passo 4

Vamos usar a informação de que após minuto, a temperatura é para encontrar a constante .
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:

Passo 6

Agora que temos , vamos usar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton para encontrar o tempo quando a temperatura for .
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Calculando:

Resposta

O termômetro irá marcar após aproximadamente 1,35 minutos.

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