Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO de 1ª ordem):
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição que facilitam a resolução de EDOs desse tipo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa equação é homogênea. Uma equação é homogênea se tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas do mesmo grau. Nesse caso, tanto quanto são funções de primeiro grau em e , então a equação é homogênea.

Passo 3

Quando temos uma EDO homogênea, podemos fazer a substituição . Isso simplifica a equação, transformando-a em uma equação com variáveis separáveis. Vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original, temos:

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis e :

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Resolvendo para e , encontramos que e . Portanto:

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma nova constante.

Passo 12

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 13

Resolvendo para :
Distribuindo o :
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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