Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO de 1ª ordem):
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição que facilitam a resolução de EDOs desse tipo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa equação é homogênea. Uma equação é homogênea se tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas do mesmo grau. Nesse caso, tanto quanto são funções de primeiro grau em e , então a equação é homogênea.
Passo 3
Quando temos uma EDO homogênea, podemos fazer a substituição . Isso simplifica a equação, transformando-a em uma equação com variáveis separáveis. Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original, temos:
Passo 5
Simplificando o lado direito da equação:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para separarmos as variáveis e :
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, fatoramos o denominador do lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Resolvendo para e , encontramos que e . Portanto:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 11
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos: