Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVIS) juntos! A equação que temos é
com a condição inicial
. Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais, especificamente o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações diferenciais lineares:
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, encontramos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
para simplificar:
Perceba que isso nos traz de volta à equação original, mostrando que o fator integrante foi aplicado corretamente.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Para encontrar
, integramos ambos os lados:
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Com
, a solução geral fica:
Passo 9
Determinar o intervalo de validade: a solução é válida para
já que o denominador
não pode ser zero. Além disso, consideramos o intervalo que inclui o ponto inicial
, então o intervalo de validade é
.
Passo 10
Para fazer o gráfico no GeoGebra, você pode plotar a função
no intervalo
.
Resposta
A solução do PVIS é
, válida para
, e o gráfico pode ser plotado no GeoGebra utilizando essa função no intervalo especificado.
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