Encontre a solução dos PVIS, determine o intervalo de validade e faça o gráfico no GeoGebra da solução: x^2 y' + 2x y = cos(x), y(pi) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVIS) juntos! A equação que temos é com a condição inicial . Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais, especificamente o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de equações diferenciais lineares: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela para simplificar:
Perceba que isso nos traz de volta à equação original, mostrando que o fator integrante foi aplicado corretamente.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Para encontrar , integramos ambos os lados:

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que , então:

Passo 8

Com , a solução geral fica:

Passo 9

Determinar o intervalo de validade: a solução é válida para já que o denominador não pode ser zero. Além disso, consideramos o intervalo que inclui o ponto inicial , então o intervalo de validade é .

Passo 10

Para fazer o gráfico no GeoGebra, você pode plotar a função no intervalo .

Resposta

A solução do PVIS é , válida para , e o gráfico pode ser plotado no GeoGebra utilizando essa função no intervalo especificado.

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