(Stewart) Um tanque contém 100 L de água pura. Água salgada contendo
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é agitada e retirada do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um tanque com 100 litros de água pura e está adicionando água salgada que tem 0,1 kg de sal por litro a uma taxa de 10 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está sendo retirada do tanque na mesma velocidade. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o sal está entrando e saindo do tanque. A taxa de entrada de sal é fácil de calcular: como estamos adicionando 10 litros por minuto de água salgada com 0,1 kg de sal por litro, isso significa que estamos adicionando 10 * 0,1 = 1 kg de sal por minuto.
Passo 3
Agora, vamos pensar na taxa de saída de sal. A mistura que está saindo do tanque tem a mesma concentração de sal que está no tanque naquele momento. Se no instante
temos
kg de sal no tanque com um volume constante de 100 litros, a concentração de sal é
kg/L. Como estamos removendo 10 litros por minuto, a taxa de saída de sal é
kg/min.
Passo 4
Agora, podemos montar a equação que descreve como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. A taxa de variação do sal no tanque é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída:
Essa é uma equação diferencial linear que vamos resolver para encontrar
.
Passo 5
Para resolver a equação diferencial
, podemos rearranjá-la da seguinte forma:
Isso é do tipo
, onde
e
.
Passo 6
Vamos encontrar um fator integrante
que é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial. No tempo
, o tanque tem água pura, ou seja,
:
Portanto, a solução da equação é:
Passo 9
Agora, vamos calcular quanto sal permanece no tanque após 6 minutos substituindo
na equação:
Calculando
:
Então:
Resposta
Depois de seis minutos, aproximadamente 4,51 kg de sal permanecem no tanque.
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.
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