(Stewart) Um tanque contém 100 L de água pura. Água salgada contendo de sal por litro entra no tanque a uma taxa de . A solução é agitada e retirada do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um tanque com 100 litros de água pura e está adicionando água salgada que tem 0,1 kg de sal por litro a uma taxa de 10 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está sendo retirada do tanque na mesma velocidade. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o sal está entrando e saindo do tanque. A taxa de entrada de sal é fácil de calcular: como estamos adicionando 10 litros por minuto de água salgada com 0,1 kg de sal por litro, isso significa que estamos adicionando 10 * 0,1 = 1 kg de sal por minuto.

Passo 3

Agora, vamos pensar na taxa de saída de sal. A mistura que está saindo do tanque tem a mesma concentração de sal que está no tanque naquele momento. Se no instante temos kg de sal no tanque com um volume constante de 100 litros, a concentração de sal é kg/L. Como estamos removendo 10 litros por minuto, a taxa de saída de sal é kg/min.

Passo 4

Agora, podemos montar a equação que descreve como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. A taxa de variação do sal no tanque é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída:
í
Essa é uma equação diferencial linear que vamos resolver para encontrar .

Passo 5

Para resolver a equação diferencial , podemos rearranjá-la da seguinte forma:
Isso é do tipo , onde e .

Passo 6

Vamos encontrar um fator integrante que é dado por:
Multiplicando toda a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:

Passo 8

Resolvendo para :
Agora, usamos a condição inicial. No tempo , o tanque tem água pura, ou seja, :
Portanto, a solução da equação é:

Passo 9

Agora, vamos calcular quanto sal permanece no tanque após 6 minutos substituindo na equação:
Calculando :
Então:

Resposta

Depois de seis minutos, aproximadamente 4,51 kg de sal permanecem no tanque.

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