Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação diferencial é
. Substituímos
por
(onde
é a raiz da equação), então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de
:
Aqui,
é a unidade imaginária, indicando que as soluções serão funções trigonométricas.
Passo 4
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos achar a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Agora, aplicamos
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Encontre a solução geral da equação diferencial.
Sejam
e
funções diferenciáveis em um intervalo aberto
. Mostre que, em geral, não é verdade que
, para todo
em
.
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Encontre a solução geral da equação diferencial.
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