Encontre a solução do problema de valor inicial.
a * y'' + 4 y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação diferencial é . Substituímos por (onde é a raiz da equação), então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de :
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que as soluções serão funções trigonométricas.

Passo 4

Como as raízes são complexas , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial . Primeiro, precisamos achar a derivada da solução geral:
Substituindo :
Agora, aplicamos :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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