Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de ordem quinta:
A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, a gente cria a chamada equação característica substituindo
por
. Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de
. Vamos fatorar:
Isso nos dá duas partes:
e
.
Passo 4
Resolvendo
, encontramos que:
Esse é um caso de raiz real múltipla. Como o expoente é 3, essa raiz tem multiplicidade 3.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da equação característica:
Aqui, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Passo 6
Então, as raízes da equaç��o característica são:
-
(com multiplicidade 3) -
-
Passo 7
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais múltiplas, usamos termos com
elevados a potências. Para raízes complexas, usamos funções exponenciais e trigonométricas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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