Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de ordem quinta:
A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, a gente cria a chamada equação característica substituindo por . Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de . Vamos fatorar:
Isso nos dá duas partes: e .

Passo 4

Resolvendo , encontramos que:
Esse é um caso de raiz real múltipla. Como o expoente é 3, essa raiz tem multiplicidade 3.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da equação característica:
Aqui, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

Passo 6

Então, as raízes da equaç��o característica são:
  • (com multiplicidade 3)

Passo 7

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais múltiplas, usamos termos com elevados a potências. Para raízes complexas, usamos funções exponenciais e trigonométricas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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