Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x,
, é igual a
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis funções y que satisfazem essa relação. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Lembrando que
é a derivada de y em relação a x, podemos reescrever isso como:
Agora, vamos separar as variáveis y e x. Multiplicamos ambos os lados por y e por dx para isolar dy de um lado e os termos de x do outro:
Passo 3
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. Integrando o lado esquerdo com relação a y e o lado direito com relação a x:
Calculando as integrais:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Onde C é a constante de integração.
Passo 4
Vamos simplificar a equação para deixá-la mais limpa. Podemos multiplicar ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
Aqui,
ainda é uma constante arbitrária.
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde C é a constante de integração que pode assumir qualquer valor real.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
Resolva as integrais abaixo.
Use
Use
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada: