Encontre a solução geral da equação diferencial dada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x, , é igual a . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis funções y que satisfazem essa relação. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Lembrando que é a derivada de y em relação a x, podemos reescrever isso como:
Agora, vamos separar as variáveis y e x. Multiplicamos ambos os lados por y e por dx para isolar dy de um lado e os termos de x do outro:

Passo 3

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados da equação. Integrando o lado esquerdo com relação a y e o lado direito com relação a x:
Calculando as integrais:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a equação para deixá-la mais limpa. Podemos multiplicar ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
Aqui, ainda é uma constante arbitrária.

Passo 5

Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde C é a constante de integração que pode assumir qualquer valor real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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Resolva as integrais abaixo.
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