Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d) y'' - 2y' - 3y = 1 + cos(2x), y(0) = -1/3, y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Este problema envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-lo, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é:
Resolvendo para :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte não homogênea é , então procuramos uma solução particular da forma:

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Para os termos constantes:
Resolvendo a equação (3):
Agora, resolvendo o sistema das equações (1) e (2):
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,

Passo 8

Com os valores de , e , a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar e .
Primeiramente, calculamos :
Simplificando:
Em seguida, calculamos :
Aplicando :
Simplificando:

Passo 11

Resolvendo o sistema das equações (4) e (5):
Da equação (4):
Da equação (5):
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (4):

Passo 12

Agora, substituindo os valores de e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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