Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d)
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Este problema envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-lo, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A parte não homogênea é
, então procuramos uma solução particular da forma:
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para os termos constantes:
Resolvendo a equação (3):
Agora, resolvendo o sistema das equações (1) e (2):
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Passo 8
Com os valores de
,
e
, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiramente, calculamos
:
Simplificando:
Em seguida, calculamos
:
Aplicando
:
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo o sistema das equações (4) e (5):
Da equação (4):
Da equação (5):
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (4):
Passo 12
Agora, substituindo os valores de
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: