Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada. Essas raízes vão nos ajudar a construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, a equação diferencial é:
Então, identificando os coeficientes:
  • (para )
  • (para )
  • (para )
  • (não tem termo )
  • (não tem termo )
Portanto, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Primeiro, podemos fatorar um :
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. (com multiplicidade 2)
Vamos resolver a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, para :
Então:
Portanto, temos duas raízes complexas:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. As raízes são:
  1. (com multiplicidade 2)
Para raízes reais múltiplas, usamos termos como . Para raízes complexas da forma , usamos .
No nosso caso:
  • Para (dupla), teremos:
  • Para as raízes complexas e , onde e , teremos:

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é a soma dessas partes. Ou seja:
Onde , , e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se forem dadas condições iniciais.

Resposta

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