Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o problema pede:
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Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para solucionar, vamos usar um método chamado fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes e aplicar a fórmula desse fator para simplificar e encontrar a solução geral.
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para solucionar, vamos usar um método chamado fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes e aplicar a fórmula desse fator para simplificar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
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Aqui, e
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Aqui,
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
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Substituindo :
.
Substituindo
Passo 4
Simplificando o fator integrante:
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Como está no denominador e queremos manter a solução geral, podemos escrever:
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Como
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
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Simplificando:
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Simplificando:
Passo 6
A equação agora se torna:
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Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto .
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
.
Isso resulta em:
, onde
é a constante de integração.
Isso resulta em:
Passo 8
Simplificando a integral:
.
Passo 9
Resolvendo para
:
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Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
, onde
é uma constante real.