Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y' - 4/x * y = -2/x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o problema pede:
.
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para solucionar, vamos usar um método chamado fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes e aplicar a fórmula desse fator para simplificar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
.
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
.
Substituindo :
.

Passo 4

Simplificando o fator integrante:
.
Como está no denominador e queremos manter a solução geral, podemos escrever:
.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
.
Simplificando:
.

Passo 6

A equação agora se torna:
.
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
.
Isso resulta em:
, onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a integral:
.

Passo 9

Resolvendo para :
.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
, onde é uma constante real.

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