Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
sen(2x) + cos(3y) d y / d x = 0, y(pi / 2) = pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar os lados apropriados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos rearranjar para isolar :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é igual a , e a integral de é:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante C. Substituímos e na equação:
Simplificando:
Sabemos que , , e , então:
Como , e , então .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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