Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar os lados apropriados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos rearranjar para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é igual a
, e a integral de
é:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituímos
e
na equação:
Simplificando:
Sabemos que
,
, e
, então:
Como
, e
, então
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: