Resolva a equação diferencial dada.
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse exercício faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
Passo 5
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja
, então
, o que implica
.
Substituindo na integral:
Retornando à variável original:
Passo 6
Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.