Resolva a equação diferencial dada.
(raiz(a x^2 + b)) y' - x y^3 = 0 para a, b in R, a != 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse exercício faz parte do estudo das equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:

Passo 5

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja , então , o que implica .
Substituindo na integral:
Retornando à variável original:

Passo 6

Igualando as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Isolando :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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