Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação diferencial dada é:
O conteúdo que vamos usar é o de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
). Ele é dado por:
Vamos calcular:
Então,
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Passo 6
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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