Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + x^4 * y = x^4 * e^(4 * x^5 / 5), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que a gente tem aqui. A equação diferencial dada é:
O conteúdo que vamos usar é o de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ). Ele é dado por:
Vamos calcular:
Então,

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente:

Passo 6

Para resolver a integral , fazemos uma substituição:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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